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[Matematica] 21, Affari tuoi e il paradosso di Monty Hall: come vincere ad Affari tuoi, grazie al cambio di variabile! :P

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Per tutti coloro che hanno visto il film “21″ e che si stanno interrogando sul cambio di variabile, magari per tentare la fortuna in uno dei giochi di Paolo “io amo il parlar forbito abusando dei congiuntivi” Bonolis et similia, e ai quali – magari – non è proprio chiaro o intuitivo il discorso del quiz, ecco che mi appresto, dopo essermi documentato e aver capito il tutto, a spiegarvelo!


21
La Locandina del film

Riprendiamo (in sintesi) le parole del film:

Professore: Lei sta partecipando ad un quiz televisivo, ha davanti a sè tre porte, una contiene un’automobile e le altre sono invece vuote. Viene invitato a scegliere una porta. Quale sceglie?

Studente: Ho il 33,3% di probabilità in ognuna delle 3 porte, sceglierne una piuttosto che un’altra è del tutto indifferente. Scelgo la prima.

Professore: Perfetto, io che sono il presentatore in questo momento, e so cosa c’è nelle rispettive porte, decido di aprire la terza per creare un po’ di suspence… Apro… La terza porta è vuota! Il concorrente è ancora in gioco! Ora le offro l’opportunità di cambiare la sua scelta iniziale: cosa fa? Tiene la porta che ha scelto all’inizio o la cambia con l’altra?

Studente: Dunque, lei ha aperto la terza porta ed era vuota, quindi sposto la mia scelta sulla seconda porta che ha il 66,6% di probabilità di contenere il premio.

Professore: Come fa a sapere che io non sto bluffando, magari cercando di depistarla sulla porta vuota?

Studente: Non lo so, ma bisogna tener conto del cambio di variabile.

Il presentatore (il professore) apre la seconda porta e il concorrente vince il premio.

Dove sta l’inghippo mentale? La gabola è pensare che, una volta venuti a conoscenza del contenuto della 3^ porta, il sistema cambi e ognuna delle due porte abbia una probabilità del 50%. In realtà questo non è così, il sistema infatti non cambia nonostante si conosca la scelta (e cercherò di spiegarlo sia dal punto di vista teorico che fornendo esempi pratici e DIY, per gli anglofoni).

La teoria

Supponiamo che, al posto di trovare una porta vuota, questa contenga una capra (il motivo di questa scelta è sia per motivi estetici del grafico, sia – soprattutto – per le “origini” di questa storia, vd. dopo).

Iniziamo con un’immagine che, già da sola, dovrebbe aprire gli occhi a molta gente:

MontyHall

Ora la spiegazione: all’inizio del gioco la probabilità di sbagliare è maggiore della probabilità di azzeccare la porta con l’auto. Assumendo quindi di aver scelto una porta con la capra, e avendo saputo che una delle porte non celte contiene, appunto, una capra, la probabilità di trovare l’auto “fa tutt’uno” (i più pignoli non storcano il naso) a quella della porta già aperta. Conviene quindi cambiare la porta.

Le prove sperimentali

Se avete l’opportunità di “giocare” con i vostri amici, vi organizzate in modo che uno faccia il ruolo del presentatore, e tenete conto dei risultati. Ripetendo il gioco un numero sufficiente di volte, attuando sempre la tecnica di cui sopra, si vede che le vittorie tendono proprio a 2/3.

Se invece non avete voglia di mettervi a sperimentare, ecco che in internet esistono diversi “simulatori” per questo paradosso (e c’era da immaginarlo :P): uno, un altro, un altro ancora

Se volete sapere la storia, e magari anche avere una diversa (e più esaustiva) spiegazione del problema, vi rimando alla pagina del Paradosso di Monty Hall su Wikipedia. Preparatevi a capire a pieno il problema, magari scontrandovi anche con Bayes e la probabilità condizionata e altri bei teoremi della probabilità elementare! :)

Wow, con un titolo così riceverò un sacco di visite! :D